Lời giải:

a)

Khi $m=1$ thì pt trở thành:

$x^2+4x-1=0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2=5\Rightarrow x+2=\pm \sqrt{5}$

$\Rightarrow x=-2\pm \sqrt{5}$

b)

Để pt có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(-2m^4+m^2)>0\Leftrightarrow 2m^4+2m+1>0(*)$

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2(m+1)\\ x_1x_2=-2m^4+m^2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$(m-1)x_1+x_1x_2+(m-1)x_2=-1$

$\Leftrightarrow (m-1)(x_1+x_2)+x_1x_2=-1$

$\Leftrightarrow -2(m-1)(m+1)+(-2m^4+m^2)=-1$

$\Leftrightarrow -2m^4-m^2+3=0$

$\Leftrightarrow (1-m^2)(2m^2+3)=0$

$\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm 1$

Thay vào $(1)$ thấy 2 giá trị đều thỏa mãn.

a: Thay m=1 vào pt, ta được:

\(x^2-1=0\)

=>(x-1)(x+1)=0

=>x=1 hoặc x=-1

b: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(-m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+4m\)

\(=4m^2-4m+4\)

\(=4\left(m^2-m+1\right)\)

\(=4m^2-4m+1+3=\left(2m-1\right)^2+3>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta có: \(2\left(x_1+x_2\right)-3x_1x_2+9=0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left[-2\left(m-1\right)\right]-3\cdot\left(-m\right)+9=0\)

\(\Leftrightarrow-4\left(m-1\right)+3m+9=0\)

=>-4m+4+3m+9=0

=>13-m=0

hay m=13

a, Thay m = 1 ta được 

\(x^2-1=0\Leftrightarrow x=1;x=-1\)

b, 

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)

\(-4\left(m-1\right)+3m+9=0\Leftrightarrow-m+13=0\Leftrightarrow m=13\)

thế x₁vào bt =>\(2\times3^2-\left(m+3\right)\times3+m-1=0\Leftrightarrow18-3m-9+m-1=0\)

<=>8 - 2m=0 <=>m=4

thế 4 vào bt 2x² - (m + 3)x + m - 1 = 0 <=>2x²-7x+3=0 <=>\(\left(x-3\right)\left(2x-1\right)=0\Leftrightarrow x=3\)hoặc x=0.5 thỏa mãn 

b tương tự

a) để phương trình có 2 nghiệm : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3\ne0\\\Delta'\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3\ne0\\\left(m+2\right)^2-\left(m-3\right)\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\6m+7\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{7}{6}\end{matrix}\right.\)

thay \(x_1=2\) vào phương trình ta có :

\(4\left(m-3\right)-4\left(m+2\right)+m+1=0\Leftrightarrow m=19\)

áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}=\dfrac{2\left(21\right)}{16}=\dfrac{21}{8}\)

\(\Rightarrow x_2=\dfrac{21}{8}-x_1=\dfrac{21}{8}-2=\dfrac{5}{8}\)

vậy ....................................................................................................

b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m-3}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=10\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=10\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}:\dfrac{m+1}{m-3}=10\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+4}{m+1}=10\Leftrightarrow2m+4=10m+10\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{4}\left(L\right)\)

vậy không có m thỏa mãn điều kiện bài toán .

câu 2) a) để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\Delta'\ge0\\p>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\left(m+1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m-1\right)\ge0\\\dfrac{m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\5m-1\ge0\\\left(m-1\right)\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ge\dfrac{1}{5}\\\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) vậy \(m>2\)

b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2\left(m+1\right)}{m-2}\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{m-2}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x_1^3+x_2^3=64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=64\)

\(\left(\dfrac{2m+2}{2-m}\right)^3+6\left(\dfrac{m-1}{m-2}\right)\left(\dfrac{m+1}{m-2}\right)=64\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(-2m-2\right)^3}{\left(m-2\right)^3}+\dfrac{6\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)^3}=64\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-8m^3-24m^2-24m-8+6m^2-12m^3-6m+12}{m^2-6m^2+12m-8}=64\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-20m^3-18m^2-30m+4}{m^3-6m^2+12m-8}=64\)

\(\Leftrightarrow84m^3-402m^2+798m-516=0\)

giải nốt nha .

câu 3 : để phương trình có 2 nghiệm . \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-2\left(2m^2+m-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-4m^2-2m+2\ge0\Leftrightarrow2m+3\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{-3}{2}\)

áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m-1\\x_1x_2=\dfrac{2m^2+m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}>7\Leftrightarrow\dfrac{x_1^4+x_2^4}{x_1^2x_2^2}>7\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{x_1^2x_2^2}>7\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\right)^2-2x_1^2x_2^2\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)}{x_1^2x_2^2}>7\)

thế vào giải ....

1. \(2x^2-\left(3m+1\right)x+m^2-m-6=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(3m+1\right)\right]^2-4.2.\left(m^2-m-6\right)=9m^2+6m+1-8m^2+8m+48=m^2+14m+49=\left(m+7\right)^2\ge0\forall m\)

=> PT có 2 nghiệm với mọi m.

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-\left(3m+1\right)\right]}{2}=\dfrac{3m+1}{2}\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2-m-6}{2}\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow P< 0\)

\(\Rightarrow\dfrac{m^2-m-6}{2}< 0\Leftrightarrow m^2-m-6< 0\Leftrightarrow-2< m< 3\)

Vậy -2<m<3 thì pt có 2 nghiệm trái dấu.

2. \(mx^2+2\left(m-4\right)x+m+7=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left[2\left(m-4\right)\right]^2-4.m.\left(m+7\right)=4\left(m^2-8m+16\right)-4m^2-28m=4m^2-32m+64-4m^2-28m=-60m+64\)

Để pt có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow-60m+64\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{16}{15}\)

=> PT có 2 nghiệm với \(m\le\dfrac{16}{15}\)

Theo Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-2\left(m-4\right)}{m}=\dfrac{-2m+8}{m}\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+7}{m}\end{matrix}\right.\)

Ta có hpt: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2m+8}{m}\\x_1-2x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2m+8}{m}\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(2x_2+x_2\right)=-2m+8\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3mx_2=-2m+8\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{-2m+8}{3m}\\x_1=2.\dfrac{-2m+8}{3m}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1;x_2\) vào P:

\(\dfrac{2\left(-2m+8\right)}{3m}.\dfrac{-2m+8}{3m}=\dfrac{m+7}{m}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(8-2m\right)^2}{9m^2}-\dfrac{m+7}{m}=0\Leftrightarrow\dfrac{2\left(64-32m+4m^2\right)}{9m^2}-\dfrac{9m\left(m+7\right)}{9m^2}=0\Leftrightarrow\dfrac{128-64m+8m^2-9m^2-63m}{9m^2}=0\Leftrightarrow-m^2-127m+128=0\)(1)

Ta có: a+b+c=-1-127+128=0

=> PT (1) có 2 nghiệm \(m_1=1\left(nhận\right);m_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{128}{-1}=-128\left(nhận\right)\)

Vậy m=1;m=-128 thì pt đề cho có 2 nghiệm thỏa đề bài.

3. \(x^2+\left(4m+1\right)x+2\left(m-4\right)=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(4m+1\right)^2-4.1.\left[2\left(m-4\right)\right]=16m^2+8m+1-8m+32=16m^2+33>0\forall m\) => PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(4m+1\right)}{1}=-4m-1\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2\left(m-4\right)}{1}=2m-8\end{matrix}\right.\)

Ta có hpt: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\x_1x_2=2m-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\2x_1x_2=4m-16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x_1+x_2+2x_1x_2=-17\)

Khi m=1 thì pt sẽ là:

x^2-2*2x+1^2+2=0

=>x^2-4x+3=0

=>x=1 hoặc x=3

Giúp vớiiiiii